小专题(六) 一元二次方程根与系数关系的运用
【例】 (泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
【思路点拨】 (1)根据根与系数的关系，求得m的值，再由判别式确定m的值；(2)根据等腰三角形的性质，边长为7分底边长、腰长两种情况求解．
【方法归纳】 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根与系数关系：x1＋x2＝－，x1x2＝，是求解一元二次方程中未知字母的值的重要数量关系，可结合两根之差通过配方相互进行转化．另外，注意运用它们的前提条件是方程必须要有两个实数根．
1．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＋＝0成立？则正确的结论是( )
A．m＝0时成立 B．m＝2时成立
C．m＝0或2时成立 D．不存在
2．关于方程49x2－98x－1＝0的解，下列叙述正确的是( )
A．无解 B．有两正根
C．有两负根 D．有一正根及一负根
3．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．
4．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程____________________．
5．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值．
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
6．不解方程，判别方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．
7．小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－9和－1，你知道原来的方程是什么吗？
8．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程：
(1)求代数式x＋x的值；
(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.
10．已知：关于x的方程x2－(k＋3)x＋3k＝0的两根为α，β.
(1)是否存在实数k使＋＝成立？若成立，求k的值；若不成立，说明理由；
[来源:学,科,网]
(2)若Rt△ABC的一边长为4，另两边长恰好是此方程的两根α，β，求Rt△ABC的周长．
参考答案
【例】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.
解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2.
∴m＝6.(2)当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2.
∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；
当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7或x＝15.
∵7＋7＜15，∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.
此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
针对训练
1．A 2.D 3.16 4.x2－5x＋6＝0(答案不唯一)
5.设方程的另一个根为x2，根据题意由根与系数关系，得x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝m2－2m＋5，
∵x1＝2，∴把x1＝2代入x1＋x2＝6，可得x2＝4.∴把x1＝2，x2＝4代入x1x2＝m2－2m＋5，可得m2－2m＋5＝8，解得m1＝3，m2＝－1.∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1.
6.∵2x2＋3x－7＝0，∴Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0.∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x1，x2，∵x1x2＝－＜0，∴原方程有两个异号的实数根．
7.设此方程的两个根是α、β，根据题意，得α＋β＝－＝10，αβ＝＝9，则以α、β为根的一元二次方程是x2－10x＋9＝0.
8.∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0.∴(2k－1)2－4(k2＋3)＞0，即－4k－11＞0.∴k＜－.
令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x＋x＝52.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝25.∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25.∴k2－2k－15＝0.∴k1＝5，k2＝－3.∵k＜－，∴k＝－3.把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4.∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
9.(1)由题可得x1＋x2＝3，x1x2＝1，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32－2×1＝7.
(2)证明：∵(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－3＋1＝－1＜0，∴(x1－1)与(x2－1)异号．若x1－1＞0，则x2－1＜0，∴x1＞1，x2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1.
10.(1)存在．∵α＋β＝k＋3，αβ＝3k，
而＋＝，∴＝.∴＝，解得k＝3.当k＝3时，Δ＝0，∴实数k＝3使＋＝成立．(2)解方程x2－(k＋3)x＋3k＝0得α＝k，β＝3，当4为斜边时，α2＋β2＝42，即16＋32＝k2，解得k1＝，k2＝－(舍去)，此时Rt△ABC的周长为4＋3＋＝7＋；当4为直角边时，42＋β2＝k2，即16＋32＝k2，解得k1＝5，k2＝－5(舍去)，此时Rt△ABC的周长为4＋3＋5＝12.