章末复习(二) 一元二次方程
基础题
知识点1 一元二次方程的概念及解
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2＋2x－y＝3
B.－＝
C．(3x2－1)2－3＝0
D.x2－8＝
2．方程x2－4x－7＝0必有一个解满足( )
A．－1＜x＜0 B．－2＜x＜－1
C．0＜x＜3 D．3＜x＜4
3．根据下表得知，方程x2＋2x－10＝0的一个近似解为x≈________．(结果精确到0.1)
4.已知x＝－1是关于x的方程－2x2－ax＋a2＝0的一个根，求a的值．
知识点2 解一元二次方程
5．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得( )
A．(x＋5)2＝16
B．(x＋5)2＝1
C．(x＋10)2＝91
D．(x＋10)2＝109
6．方程(x－5)(x＋2)＝1的解为( )
A．5 B．－2
C．5和－2 D．以上结论都不对
7．用恰当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2－10x＋25＝7；
x§k§b 1
(2)x2－5x＋2＝0；
(3)(x＋2)(x－1)＝2－2x；
(4)(2x＋3)2＝x2－6x＋9.
知识点3 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
8．(滨州中考)一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是( )
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
9．(荆门中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x＋x＝4，则m的值为________．
10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－2 019＝0的两根，求(m＋1)(n＋1)的值．
知识点4 一元二次方程的应用
11．要用一条长24 cm的铁丝围成一个斜边长是10 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为( )
A．4 cm，8 cm B．6 cm，8 cm
C．4 cm，10 cm D．7 cm，7 cm
12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013年用于绿化的投资是20万元，2015年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为________________．
13．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画(如图1)的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图(如图2)，使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为____________．
14．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打________场比赛，比赛总场数用代数式表示为________．根据题意，可列出方程________________．整理，得______________．解这个方程，得______________．合乎实际意义的解为________．
答：应邀请________支球队参赛．
15．如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并互相垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为0.24米2的风筝，请你计算一下将竹条截成长度分别为多少的两段？
中档题
16．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是( )
A．与方程x2＋4＝4x的解相同
B．两边都除以x－2，得x－1＝1，可以解得x＝2
C．方程有两个相等的实数根
D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得x1＝x2＝2
17．用一条长为60 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( )
A．240 B．225 C．60 D．30
18．如果关于x的方程x2－ax＋a2－3＝0至少有一个正根，则实数a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2 B.＜a≤2
C．－＜a≤2 D．－≤a≤2
19．当m＝________时，关于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．
20．(台州中考)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．
21．用恰当的方法解下列一元二次方程：
(1)3x2－6x＋2＝0；
(2)x2－2(x＋4)＝0；
(3)x2－1＝4(x＋1)．
22．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2－4x＋5m＝mx＋5与x2＋x＋m－1＝0互为“友好方程”，求m的值．
23．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
24．(梅州中考)已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
25．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2 cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4 cm2?
综合题
26．实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为4 cm的正方体．
(1)如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1 cm的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；
(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1 cm的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；
(3)如果把(1)、(2)中的边长为1 cm的通孔均改为边长为a cm(a≠1)的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为118 cm2？如果能，求出a，如果不能，请说明理由．
参考答案
基础题
1．D 2.B 3.－4.3
4.把x＝－1代入－2x2－ax＋a2＝0，得－2×(－1)2－(－1)a＋a2＝0，
整理，得a2＋a－2＝0.解得a1＝－2，a2＝1.∴a的值为－2或1.
5.A 6.D
7.(1)(x－5)2＝7，x－5＝±，∴x1＝5＋，x2＝5－.
(2)a＝1，b＝－5，c＝2，∵Δ＝25－8＝17＞0，
∴x＝.∴x1＝，x2＝.
(3)(x＋2)(x－1)＋2(x－1)＝0，(x－1)(x＋4)＝0，
∴x－1＝0或x＋4＝0.∴x1＝1，x2＝－4.
(4)∵(2x＋3)2＝(x－3)2，∴2x＋3＝x－3或2x＋3＝3－x.解得x1＝－6，x2＝0.
8.C 9.－1或－3
10.根据题意得m＋n＝2，mn＝－2 019，原式＝mn＋m＋n＋1＝－2 019＋2＋1＝－2 016.
11.B 12.20(1＋x)2＝25 13.(2x＋6)(2x＋8)＝80 14.(x－1) x(x－1) x(x－1)＝28 x2－x＝28 x1＝8，x2＝－7 x＝8 8
15.设将竹条截成长度分别为x米和(1.4－x)米的两段，根据题意得x(1.4－x)＝0.24，解得x1＝0.6，x2＝0.8.当x1＝0.6时，1－x＝0.8；当x2＝0.8时，1－x＝0.6.
答：将竹条截成长度分别为0.6米和0.8米的两段．
中档题
16．B 17.A 18.C 19.－2 20.①③
21.(1)∵b2－4ac＝(－6)2－4×3×2＝12，∴x＝.∴x1＝，x2＝.
(2)x2－2x－8＝0，x2－2x＝8，x2－2x＋1＝9，∴(x－1)2＝9.∴x－1＝±3.∴x1＝－2，x2＝4.
(3)移项，得(x＋1)(x－1)－4(x＋1)＝0.
分解因式，得(x＋1)(x－1－4)＝0.∴x＋1＝0或x－1－4＝0.∴x1＝－1，x2＝5.
22.x2－4x＋5m＝mx＋5，整理，得x2－(4＋m)x＋5(m－1)＝0.
分解因式，得(x－5)[x－(m－1)]＝0.解得x1＝5，x2＝m－1.
当x＝5时，25＋5＋m－1＝0，解得m＝－24－5.
∴m－1＝－25－5，此时方程x2＋x＋m－1＝0为x2＋x－25－5＝0.
解得x1＝5，x2＝－5－.
∵－5－≠－25－5，∴m＝－24－5符合题意．
当x＝m－1时，(m－1)2＋(m－1)＋m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，m－1＝0，此时方程x2＋x＋m－1＝0为x2＋x＝0.解得x1＝－，x2＝0.
∵－≠5，∴m＝1符合题意．当m＝－时，m－1＝－－1，此时方程x2＋x＋m－1＝0为x2＋x－－1＝0.解得x1＝1，x2＝－1.∵1≠5，∴m＝－符合题意．所以m的值为－24－5或1或－.
23.(1)设每次降价的百分率为x，由题意，得40×(1－x)2＝32.4.解得x1＝10%，x2＝190%(不符合题意，舍去)．答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率为10%.
(2)设每件商品应降价y元，由题意，得(40－30－y)(×4＋48)＝512.解得y1＝y2＝2.
答：每天要想获得512元的利润，每件应降价2元．
24.(1)∵b2－4ac＝22－4×1×(a－2)＝12－4a＞0，解得a＜3.
∴a的取值范围是a＜3.
(2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
解得则a的值是－1，该方程的另一根为－3.
25.过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.
∵∠ABC＝30°，∴QE＝QB.∴S△PQB＝PB·QE.
设经过t秒后△PBQ的面积等于4 cm2，则PB＝6－t，QB＝2t，QE＝t.
根据题意，得(6－t)·t＝4，即t2－6t＋8＝0.解得t1＝2，t2＝4.当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意，舍去，所以t＝2.答：经过2秒后△PBQ的面积等于4 cm2.
综合题
26．(1)110 (2)118 (3)能使橡皮泥块的表面积为118 cm2，理由：∵S1＝96－2a2＋4a×4，S2＝S1－4a2＋4×4a－4a2，∴96－2a2＋16a－8a2＋16a＝118.解得a1＝，a2＝1.∵a≠1，＜4，∴当边长改为 cm时，表面积为118 cm2.