*专题训练(四) 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
类型1 一元二次方程根的判别式
1．已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数
D．无实数根
2．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( )
A．m≤3 B．m＜3[来源:学+科+网]
C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
3．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______________．
类型2 一元二次方程根与系数的关系[来源:学科网ZXXK]
4．(防城港中考)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＋＝0成立？则正确的结论是( )
A．m＝0时成立 B．m＝2时成立
C．m＝0或2时成立 D．不存在
5．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为________．
6．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________.
7．(江西中考)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC＝3，请写出一个符合题意的一元二次方程________________________________________________________________________．
8．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值．
9．已知方程x2－3x＋1＝0的两根分别为x1和x2，不解方程：
(1)求代数式x＋x的值；
(2)试证明两根中一根大于1，另一根小于1.
类型3 一元二次方程根的判别式和根与系数关系的综合运用
10．不解方程，判别方程2x2＋3x－7＝0两根的符号．
11．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少？
[来源:学科网ZXXK]
12．(泸州中考)已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．[来源:学科网ZXXK]
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
参考答案
1．A 2.D 3.a＞－且a≠0 4.A 5.16 6.25 7.x2－5x＋6＝0(答案不唯一)
8.设方程的另一个根为x2，根据题意由根与系数关系，得x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝m2－2m＋5， ∵x1＝2， ∴把x1＝2代入x1＋x2＝6，可得x2＝4. ∴把x1＝2，x2＝4代入x1x2＝m2－2m＋5，可得m2－2m＋5＝8.解得m1＝3，m2＝－1. ∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一根为4，m的值为3或－1.
9.(1)由题可得x1＋x2＝3，x1x2＝1.x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝32－2×1＝7. (2)证明： ∵(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1－3＋1＝－1＜0， ∴(x1－1)与(x2－1)异号．若x1－1＞0，则x2－1＜0， ∴x1＞1，x2＜1，即两根中一根大于1，另一根小于1.
10.∵2x2＋3x－7＝0， ∴Δ＝32－4×2×(－7)＝65＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．设方程的两个根为x1，x2， ∵x1x2＝－＜0， ∴原方程有两个异号的实数根．
11.∵一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0. ∴(2k－1)2－4(k2＋3)＞0，即－4k－11＞0. ∴k＜－.令其两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2＋3， ∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5， ∴x＋x＝52. ∴(x1＋x2)2－2x1x2＝25. ∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25. ∴k2－2k－15＝0. ∴k1＝5，k2＝－3. ∵k＜－， ∴k＝－3.把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4. ∴直角三角形的两直角边分别为3和4.
12.(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根， ∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5. ∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28.解得m＝－4或m＝6.
又∵Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝4m2＋8m＋4－4m2－20＝8m－16≥0，解得m≥2. ∴m＝6. (2)当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得m＝2. ∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3. ∵3＋3＜7， ∴不能构成三角形．当7为腰时，设x1＝7，代入方程得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得m＝10或4；当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，解得x＝7，或x＝15. ∵7＋7＜15， ∴不能组成三角形；当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，解得x＝3或x＝7.此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
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