2.5 一元二次方程的根与系数的关系
基础题
知识点1 利用根与系数的关系求一元二次方程两根的和与积
1．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．1 B．5
C．－5 D．6
2．(金华中考)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )
A．4 B．－4
C．3 D．－3
3．(包头中考)已知方程x2－2x－1＝0，则此方程( )
A．无实数根 B．两根之和为－2
C．两根之积为－1 D．有一根为－1＋
4．(枣庄中考)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是( )
A．－10 B．10
C．－6 D．2
5．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝11，x1x2＝30，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－11x＋30＝0
B．x2＋11x＋30＝0[来源:学|科|网Z|X|X|K]
C．x2＋11x－30＝0
D．x2－11x－30＝0
6．(威海中考)方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )
A．－2或3 B．3
C．－2 D．－3或2
7．已知m，n是方程x2－2x－1＝0的两实数根，则＋的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
8．(黄冈中考)若方程x2－2x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．
9．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之积．
(1)x2＋4x＝0；
(2)2x2－3x＝5.
[来源:Zxxk.Com]
知识点2 根与系数关系的运用
10．(衡阳中考)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为( )
A．－2 B．2 C．4 D．－3
11．(南京中考)已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________．
12．关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别是1和2，则b＝________，c＝________.
13．(玉林中考)已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值．
中档题
14．下列关于一元二次方程的四种说法，你认为正确的是( )
A．方程2y2－y＋＝0必有实数根
B．方程x2＋x＋1＝0的两个实数根之积为－1[来源:Z§xx§k.Com]
C．以－1、2两数为根的一元二次方程可记为x2＋x－2＝0
D．一元二次方程2x2＋4x＋3m＝0的两实数根的平方和为7，则m＝－1
15．(荆州中考)若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为________．
16．甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0，甲看错了一次项系数，解得根为4和－9；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为________________．
17．已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，求a的值．
18．(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数m的最大整数值；
(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x＋x－x1x2的值．[来源:Zxxk.Com]
19．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程的两个根为x1，x2，就能快速求出＋，x＋x，…的值了．比如设x1，x2是方程x2＋2x＋3＝0的两个根，则x1＋x2＝－2，x1x2＝3，得＋＝＝－.”
(1)小亮的说法对吗？简要说明理由；
(2)写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和．
综合题
20．(南充中考改编)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正．证明：
(1)这两个方程的根都是负根；[来源:学#科#网]
(2)(m－1)2＋(n－1)2≥2.
参考答案
1．B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.A 8.3
9.(1)Δ＝b2－4ac＝42－4×1×0＝16＞0， ∴方程有两个实数根，设为x1、x2，则x1＋x2＝－4，x1x2＝0. (2)原方程可化为2x2－3x－5＝0，Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－5)＝49＞0， ∴方程有两个实数根，设为x1、x2，则x1＋x2＝，x1x2＝－.
10.A 11.3 －4 12.－3 2
13.∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m， ∴解得即m，n的值分别是1，－2.
14.D 15.0 16.x2－5x－36＝0
17.∵(m－1)(n－1)＝－6， ∴mn－(m＋n)＋7＝0.又 ∵m，n是关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0的两个解， ∴m＋n＝3，mn＝a. ∴a－3＋7＝0.解得a＝－4.
18.(1)∵一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝8－4m＞0.解得m＜2.故实数m的最大整数值为1. (2)∵m＝1， ∴此一元二次方程为x2－2x＋1＝0. ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1. ∴x＋x－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1x2＝8－3＝5.
19.(1)小亮的说法不对．方程x2＋2x＋3＝0没有实数根．
若有一根为零时，就无法计算＋的值了，因为零作除数无意义． (2)所喜欢的一元二次方程x2－5x－6＝0. ∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－6)＝49>0， ∴方程有两个实数根．设方程的两个根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝5，x1x2＝－6.又 ∵x＋x＝x＋x＋2x1x2－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2，
将x1＋x2＝5，x1x2＝－6代入，得x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝52－2×(－6)＝37.
20.证明：(1)∵两个整数根乘积为正， ∴两个根同号．由根与系数的关系有x1x2＝2n＞0，y1y2＝2m＞0. ∴y1＋y2＝－2n＜0，x1＋x2＝－2m＜0. ∴这两个方程的根都为负根． (2)由根判别式有Δ1＝4m2－8n≥0，Δ2＝4n2－8m≥0， ∴m2－2n≥0，n2－2m≥0. ∴(m－1)2＋(n－1)2＝m2－2m＋1＋n2－2n＋1＝(m2－2n)＋(n2－2m)＋2≥2.
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