*4.5 相似三角形判定定理的证明
基础题
知识点 相似三角形判定定理
1．下列命题中，是真命题的为( )
A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似
2．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
3．(荆州中考)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
[来源:Zxxk.Com]
A．∠ABP＝∠C
B．∠APB＝∠ABC
C.＝
D.＝
4．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( )
5．(哈尔滨中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
6．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，BE与AC垂直，交于E点，其延长线交AD于F，请在图中找出一个与△AEF相似的三角形，这个三角形是____________．
8．已知在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°.当∠F＝________时，△ABC∽△DEF.
9．(宁夏中考改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP.试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似．
中档题
10. (贵阳中考)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
(淄博中考)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．
12．(武汉中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若△BPQ与△ABC相似，求t的值．
[来源:学科网ZXXK]
综合题
13．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC.(AB＞AE)
(1)△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
[来源:Z#xx#k.Com]
设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．
[来源:学科网]
参考答案
1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.△CEB(答案不唯一) 8.60° 9.∵不论点P在BC边上何处时，都有∠PQB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，∴△PBQ∽△ABC. 10.C 11.3 12.①当△BPQ∽△BAC时，则＝.∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，∴＝.解得t＝1.②当△BPQ∽△BCA时，则＝.∴＝.解得t＝.∴当t＝1或时，△BPQ与△ABC相似． 13.(1)相似．证明：延长FE与CD的延长线交于点G.在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵E是AD的中点，∴AE＝ED.又∵∠A＝∠EDG＝90°，∠AEF＝∠DEG，∴△AFE≌△DGE.∴∠AFE＝∠G，FE＝GE.又CE⊥FG，∴FC＝GC.∴∠EFC＝∠G.又∵∠AFE＝∠G.∴∠AFE＝∠EFC.又∵∠A＝∠CEF，∴△AEF∽△ECF.(2)存在．①当∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF.证明：当＝时，＝.∴＝.∴∠ECG＝30°.∴∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°.∴∠BCF＝90°－60°＝30°.又∵∠EAF＝∠CBF＝90°，∴△AEF∽△BCF；②∵EF不平行于BC，∴∠BCF≠∠AFE.∴不存在第二种相似的情况．[来源:学+科+网]
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