4．4 探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的判定方法
基础题
知识点1 相似三角形的概念
1．下列说法中，错误的是( )
A．两个全等的三角形一定相似
B．两个钝角三角形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．相似的两个三角形不一定全等
2．如图，若∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，且＝＝，则____________．
知识点2 两角分别相等的两个三角形相似
3．下列说法正确的是( )
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．所有的直角三角形相似
C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似
D．所有的等腰三角形相似
4．如图，E是矩形ABCD的AB边上任意一点，F是AD边上一点，∠EFC＝90°，图中一定相似的三角形是( )
A．①与② B．③与④
C．②与③ D．①与④
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
6．如图，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴________∽________.
7．已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角，判定这两个直角三角形________(填“相似”或“不相似”)．
8．(怀化中考)如图，已知：在△ABC与△DEF中，∠C＝54°，∠A＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°.求证：△ABC∽△DEF.
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
[来源:Z。xx。k.Com]
9．(铜仁中考)如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：＝.
[来源:Z+xx+k.Com]
中档题
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )
A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD
C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB
11．(海南中考)如图，点P是□ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
12．在△ABC中，∠C＝90°，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
13．(毕节中考)如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于( )[来源:学科网ZXXK]
A. B. C. D.
14．如图，△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°.
(1)若将△DEP的顶点P放在BC上(如图1)，PD、PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证：△PBG∽△FCP；
(2)若使△DEP的顶点P与顶点A重合(如图2)，PD、PE与BC相交于点F、G.试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？
综合题
15．在△ABC中，∠C＝90°.
(1)如图1，P是AC上的点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似．例如：过点P作PD∥BC交AB于D，则截得的△ADP与△ABC相似．请你在图中画出所有满足条件的直线；
(2)如图2，Q是BC上异于点B，C的动点，过点Q作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，直接写出满足条件的直线的条数．(不要求画出具体的直线)
[来源:学科网]
参考答案
1．B 2.△ABC∽△A′B′C′ 3.C 4.A 5.C 6.△ABC △DEF 7.相似 8.证明：在△DEF中，∠D＝180°－∠E－∠F＝180°－79°－54°＝47°，∵∠C＝∠F＝54°，∠A＝∠D＝47°，∴△ABC∽△DEF. 9.证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D＝∠E＝90°.∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE.∴＝. 10.D 11.D 12.C 13.A 14.(1)证明：∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°.
∴∠BPG＋∠CPF＝135°.在△BPG中，∵∠B＝45°，∴∠BPG＋∠BGP＝135°.∴∠BGP＝∠CPF.∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP.(2)△PBG与△FCP还相似．理由如下：∵△ABC、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DPE＝45°.∵∠BGP＝∠C＋∠CPG＝45°＋∠CAG，∠CPF＝∠FPG＋∠CAG＝45°＋∠CAG，∴∠BGP＝∠CPF.∵∠B＝∠C，∴△PBG∽△FCP. 15.(1)图略．(2)当0＜BQ＜时，满足条件的直线有3条；当≤BQ＜6时，满足条件的直线有4条．
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