第23章 一元二次方程 复习与小结
复习内容
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．
复习目标
1．知识与技能．
（1）了解一元二次方程的有关概念．
（2）能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．
（3）会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况．
（4）知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有问题．
（5）能运用一元二次方程解决简单的实际问题．
（6）了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．
2．过程与方法．
（1）经历运用知识、技能解决问题的过程．
（2）发展学生的独立思考能力和创新精神．
3．情感、态度与价值观．
（1）初步了解数学与人类生活的密切联系．
（2）培养学生对数学的好奇心与求知欲．
（3）养成质疑和独立思考的学习习惯．
重难点、关键
1．重点：运用知识、技能解决问题．
2．难点：解题分析能力的提高．
3．关键：引导学生参与解题的讨论与交流．
复习准备
1．教师准备：小黑板．（展示本章内容的总结）
2．学生准备：本章复习提纲．
复习过程
一、复习联想，温故知新
基础训练．
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
例如：一元二次方程7x-3=2x2化成一般形式是________其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公式法，求根公式是______________．
3．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，它没有实数根．
例如：不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x（5x+21）=20 （2）x2+9=6x （3）x2-3x=-5
4．设一元二次方程x2+px+q=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=______．
例如：方程x2+3x-11=0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=________；x1·x2=_______．
5．设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=_______，x1·x2=________．
二、范例学习，加深理解
例：解下列方程．
（1）2（x+3）2=x（x+3） （2）x2-2x+2=0
（3）x2-8x=0 （4）x2+12x+32=0
解：（1）2（x+3）2=x（x+3）
2（x+3）2-x（x+3）=0
（x+3）[2（x+3）-x]=0
（x+3）（x+6）=0
x1=-3，x2=-6．
（2）x2-2x+2=0
这里a=1，b=-2，c=2
b2=（-2）2-4×1×2=12>0
x==
x1=+，x2=-
（3）x（x-8）=0
x1=0，x2=8．
（4）配方，得
x2+12x+32+4=0+4
（x+6）2=4
x+6=2或x+6=-2
x2=-4，x2=-8．
点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．
三、合作交流，探索新知
1．已知关于x的方程x2-mx-3=0的两实根为x1，x2，若x1+x2=2，求x1，x2的值．
2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是3，求原铁皮的边长．
3．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/小时的速度向正东方向航行，随即调整方向，以75海里/小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间能赶上？
4．某工厂一月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，若每月的增长率相同，求每月产量的平均增长率．
5．已知x=1是一元二次方程（a-2）x2+（a2-3）x-a+1=0的一个根，求a的值．
四、归纳总结，提高认识
1．综述本节课的主要内容．
2．谈谈本节课的收获与体会．
五、布置作业，专题突破
1．课本P38复习题第1．（1）、（3）、（5）、（6），2．（1），3． 5． 6． 9．（4），10．（1）题．
2．选用课时作业设计．
3．预习作业：本章复习提纲．
六、课后反思（略）
课时作业设计
1．一元二次方程3x2+x=0的根是________．
2．一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：________，二次项系数为：________，一次项系数为：________，常数项为：________．
3．方程2x2=4x的解是（ ）
A．x=0 B．x=．x1=0，x2=2 D．以上都不对
4．某商品连续两次降价，每次都降20%后的价格为m元，则原价是（ ）
A． D．元
5．解下列方程．
（1）3x2-x=4 （2）（x+3）（x-4）=6
（3）（x+3）2=（1-2x）2 （4）3x2+5x-2=0
（5）x2+2x-4=0
6．已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是_________．
7．用长的铁丝，折成一个面积是2的矩形，求这个矩形的长和宽．又问：能否折成面积是2的矩形呢？为什么？
8．某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8%．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数．
答案:
1．x1=0，x2=- 2．x2-8x-4=0，二次项为1，一次项为-8，常数项为-4
3．C 4．C
5．（1）x1=，x2=-1 （2）x1=
（3）x1=4，x2=- （4）x1=，x2=-2 （5）x1=-+，x2=--
6．3，4，5
7．（1）设矩形的宽为xcm，则长为（11-x）cm，
根据题意，得：x（11-x）=30，x2-11x+30=0，解得：x1=5，x2=6，
当x=5时，11-x=6，当x=6时，11-x=5，
∴矩形的长和宽分别为和．
（2）矩形的面积为2，则，x（11-x）=32，x2-11x+32=0，
b2=121-4×32<0，此方程无解，
∴矩形的面积不可能为2．
8．略.
附：解析
1．课本P31习题23．2第8题．
解：设4月份的增长率为x，则5月份的增长率为x+5%，根据题意，得：
50（1-30%）（1+x）（1+x+5%）=48.3．
整理，得：100x2+205x-33=0，解得：x1=，x2=-．
因为增长率不为负，所以x2=-不符合题意，符合题意的是x==15%．
这时x+5%=20%．
答：4月份的增长率为15%，5月份的增长率为20%．
2．课本P31习题23．2第9题．
解：设车棚平行于图书馆后墙的边为x米，则另两边为，根据题意，得：
x·=50，
解得：x1=20，x2=5．当x1=20时，=2.5，当x1=5时，=10．考虑到合理利用空间的方便及取放自行车，选择x=20时，=2.5较合适．
答：设车棚平行于图书馆后墙的边设计为，则中两边为，比较合理（假设图书馆后墙的长度大于）．
3．课本P34练习第3题．
将题目补充为：某市人均居住面积14.6平方米，计划在两年后达到18平方米，若预计人口的平均年增长率为8%，求住房面积的年平均增长率．（精确到0.001）
解：设住房面积的年平均增长率为x，则=18，
解得：x1≈0.199，x2≈-2.199．因为住房面积的年平均增长率不为负，所以x2≈-2.199不符合题意，符合题意的是x1≈0.199=19.9%．
答：住房面积的年平均增长率约为19.9%．