一元二次方程根的判别式
知识考点：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。毛
精典例题：
【例1】当取什么值时，关于的方程。
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不相等的实根；
（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）；（2）；（3）
【例2】求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当为什么值时，关于的方程有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分＝0和≠0两种情形讨论。
略解：当＝0即时，≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当≠0即时，方程有根的条件是：
△＝≥0，解得≥
∴当≥且时，方程有实根。
综上所述：当≥时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于的方程有两个不相等的实数根、，问是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。
略解： 化简得
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块的长方形草坪（如图CDEF，CD＜CF）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
略解：设CF＝DE＝，则CD＝EF＝
修建总费用为：
＝
条件是：10＜≤25
（1）＝12 ∴能完成
（2）
∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练
一、填空题：
1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是 。
2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 。
3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是 。
4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（ ）
A、 B、≤ C、且≠2 D、≥且≠2
3、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（ ）
A、有两个不等实根 B、有两个相等实根
C、没有实根 D、无法确定
三、试证：关于的方程必有实根。
四、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。
五、已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否通过A（－2，4），并说明理由。
六、已知关于的方程，问：是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
七、已知＞0，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。
参考答案
一、填空题：
1、①；2、；3、≤；4、10
二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当时，；（2）当时，所以方程必有实根。
四、＝2，＝3
五、不能。由直线不通过第二象限
六、存在。
七、.毛