2011—2012学年初三第一学期期中考试数学试卷答案
1.D 2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B 8.B
9.36 10.2000∏ 11.2 12.25或16
13.y=2（x+1）2-1
14.y=-2x2+x+3
15. y=（x-2）2+1 x=2 （2，1）
16.x=1 （1，2）
公平
18.-1
19.BC=2
20. 解: 连接OE.
∵ ⊙O切AB于E,
∴ OE⊥AB.
∴∠OEA=90°. ……………1分
在Rt△OEA中, ∠OAE=30°, OA=2,
∴ OE=OA=1, ∠AOE=60°. ……………2分
∴ AE= ……………………………………………………3分
∵ OE⊥AB，OB = OA,
∴ BE = 2AE =2，∠AOB=2∠OBE=120°. ………………………………4分
∴ S阴影=S△OAB- S扇形OCD= ………………5分
22.y=x2-4x+1
23．如图，已知点A是⊙O上一点，直线MN过点A，点B是MN上的另一点，点C是OB的中点， ，
若点P是⊙O上的一个动点,且∠,AB=时，求△APC的面积的最大值．
23. 解:连结OA.
由C是OB的中点,且,
可证得 ∠OAB=90°. -----------------------------2分
则 ∠O=60°.
可求得OA=AC=2.
过点O作OE⊥AC于E，且延长EO交圆于点F．
则 P(F)E是△PAC的AC边上的最大的高.------------3分
在△OAE中,OA=2,∠AOE=30°, w w w .
解得 . ----------------------------4分
所以 . ---------------------------5分
故 .
即 .----------------------------- 6分
24. 解：（1）把A(5,0)代入，得. …………1分
∵bc=0，∴b=0或c=0.
当b=0时，代入中，得，舍去.
当c=0时，代入中，得，符合题意.
∴该抛物线的解析式为 …………………………………2分
（2）①若OA为边，则PM∥OA.
设M(m,), ∵OA=5， ∴P(m+5,)或P(m-5,).
当P(m+5,)时， ∵P点在抛物线上，
∴, 解得.
∴P(12,14). ………………………………………………………………4分
当P(m-5,)时， ∵P点在抛物线上，
∴, 解得.
∴P(-3,4)或P(20,50). ……………………………………………………5分
②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.
∵OA中点为(,0)，
设M(m,), ∴P(5-m,-). ∵P点在抛物线上，
∴, 解得.
∴P(12,14). ………………………………………………………………6分
综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14) 、P2(-3,4)、P3(20,50).
25．解：（1）过点C作 CD⊥AB于D.
∵ C(-1, 1),
∴ CD=1.
又 S△CPA==1,
∴ AP=2. …………………………………………… 1分
∵ P(-1, 0),
∴ A(-3, 0), B(1, 0).
设经过点A，E，B抛物线的解析式为 , 则 .
解得a=1.
故“双抛物线中”经过点A，E，B抛物线的解析式为 y=x2+2x-3.（-3≤x≤1）
……………… 2分
（2）在“双抛物线”上，使得S△FAP=S△CAP的点F的坐标为：
F1(--1, 1), F2 (, -1), F3 (, -1). ……………………4分
（3）∵ 过点E与x轴平行的直线与“双抛物线”交于点G，E(0,-3),
∴ G (x, -3).
∵ 点G在抛物线上,
∴ x2+2x-3=-3.
解得 x1=0, x2=-2.
∴ G (-2, -3). …………………………………………………………5分
设经过点G的“双抛物线”切线的解析式为y=kx+b, 则-3=-2k+b.
b=2k-3.
∴ y=kx+2k-3.
∵ G点在抛物线上，且在切线上，
∴ x2+2x-3=kx+2k-3. ……………………………………………………6分
x2+(2-k)x-2k=0.
∵ 经过点G的“双抛物线”切线与“双抛物线”只有一个交点，
∴ Δ=b2=(2-k)2+8k=(2+k)2=0.
解得 k=-2. 故b=-7.
∴ 经过点G的“双抛物线”切线的解析式为y=-2x-7. …………………7分
说明:第(1)问不写自变量取值范围不扣分; 第（2）问F1正确给1分.