北京市西城区2012—2013学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学 2013.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数的最小值是w W w .
A． B．． D．2
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝40°，则∠AOC
的度数为
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．两圆的半径分别为2和3，若圆心距为5，则这两圆的位置关系是
A．相交 B．外离 C．外切 D．内切
4．三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示.
若，则这个三角尺的周长
与它在墙上形成的影子的周长的比是
A．5：2 B．2：5
C．4：25 D．25：4
5．如图，正方形ABCD的内切圆和外接圆的圆心为，
EF与GH是此外接圆的直径，EF=4，AD⊥GH，
EF⊥GH，则图中阴影部分的面积是
A．π B．2π
C．3π D．4π
6．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片
（长，宽）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，
照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的
3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸（如图），下面所列
方程正确的是
A． B．
C． D．
7．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，△绕点顺时针旋转90°后得到△，则点的对应点坐标为
A．（3，4） B．（7，4）
C．（7，3） D．（3，7）
8．如图，△ABC中，∠B=60°，∠ACB=75°，点D是BC边上一动点，
以AD为直径作⊙O，分别交AB、AC于E、F，若弦EF的最小值
为1，则AB的长为
A. B. C. 1.5 D.
二、填空题（本题共16分，每小题4分）w ww.
9．扇形的半径为9，且圆心角为120°，则它的弧长为_______.
10．已知抛物线经过点、，
则与的大小关系是_______．
11．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，
∠APB=60°.若点C在⊙O上，且AC=，则圆周角
∠CAB的度数为_______．
12．已知二次函数的图象与x轴交于(,0)和(,0)，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
www.
14．已知抛物线．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，
AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．
16．如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB
于点E．
（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．
17．如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长．
18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔
100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔
P的北偏东30°方向上的B处.
（1）B处距离灯塔P有多远？
（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔
200海里的O处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里，
进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达
B处是否有触礁的危险，并说明理由．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知抛物线. www .
（1）它与x轴的交点的坐标为_______；
（2）在坐标系中利用描点法画出它的图象；
（3）将该抛物线在轴下方的部分(不包含与轴的交点)记为G，若直线与G 只有一个公共点，则的取值范围是_______．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线
与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，
若MN · MC=8，求⊙O的直径.
21．平面直角坐标系中，原点O是正三角形ABC外接圆的圆心，点A在轴的正半轴上，△ABC的边长为6．以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转角，得到△，点、、分别为点A、B、C的对应点．
（1）当=60°时，
①请在图1中画出△；
②若AB分别与、交于点D、E，则DE的长为_______；
（2）如图2，当⊥AB时，分别与AB、BC交于点F、G，则点的坐标为 _______，△FBG的周长为_______，△ABC与△重叠部分的面积为 _______．
22．阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数的对称轴为直线，
∴由对称性可知，和时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；
若m≥5，则时，的最大值为．
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；
（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知抛物线经过点（，）．
（1）求的值；
（2）若此抛物线的顶点为（，），用含的式子分别表示和，并求与之间
的函数关系式；
（3）若一次函数，且对于任意的实数，都有≥，直接写出的取值范围.
24．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中
∠ABO=∠DCO=30°．
（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．
①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；
②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（），其
他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
（2）如图3，若BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．
25．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.
（1）若点F的坐标为（，），AF=.
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若，，且AB的长为，其中.如图2，当∠DAF=45°时，求的值和∠DFA的正切值.