海淀区九年级第一学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13. 计算：.
解：原式= …………………………………………4分
=. …………………………………………5分
14. 解方程： .
解法一：. …………………………………………3分
或.
∴ . …………………………………………5分
解法二： , …………………………………1分
. ……………………………………2分
∴ . …………………………………………3分
∴ . …………………………………………5分
15．解法一：∵，
∴
= ………………………2分
= ………………………3分
= ………………………4分
=
=. ………………………5分
解法二：∵，
∴. .…………………………1分
原式= .…………………………2分
= .…………………………3分
= .…………………………4分
=. ………………………5分
16.例如：
∴△、△为所求.
(注：第（1）问2分；第（2）问3分，画出一个正确的即可.)
17. 解：∵，
∴. ………………………1分
∵，
∴△∽△. ………………………3分
∴. ………………………4分
∵=6，
∴.
∴.
∴. ………………………5分
18. 解法一：依题意，可得=.
∴顶点. ……………1分
令，可得或.
∴、. ……………2分
令，可得.
∴. ……………3分
∴直线的解析式为.
设直线交轴于.
∴.
∴. …….………….…………4分
∴.
∴△BCD的面积为3. …….………….…………5分
解法二：同解法一，可得、、、. ……………3分
∴直线的解析式为.
过点作∥交轴于,连接.
∴设过、两点的直线的解析式为.
∵，
∴直线的解析式为.
∴.
∴. ….…………4分
∵∥，
∴.
∴△的面积为3. . .………….………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：（1）∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴. …………………………1分
∴. .…………………………2分
（2）∵m为符合条件的最大整数，
∴. .…………………………3分
∴.
.
.
，.
∴方程的根为，. .…………………………5分
20．解：(1)的值为3； .…………………………1分
(2) ∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），
∴设二次函数的解析式为. .…………………………2分
∵图象经过点，
∴. .…………………………3分
∴这个二次函数的解析式为. .…………………………4分
(3) 当时，则y的取值范围为 ≤. .…………………5分
21. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.
设二次函数的解析式为. .…………………1分
∵图象经过点， .…………………2分
∴，
.
∴. .…………………3分
当时，. .…………………4分
答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. .…………………5分
22．（1）如图，连接. ………………1分
∵在⊙O 中，，
∴∠1=∠2.
∵是⊙O的直径，
∴.
∵E为BC中点，
∴.
∴∠3=∠4.
∵BC切⊙O于点B，
∴.
∴,
即.
∴⊥.
∵点在⊙O上，
∴是⊙O的切线. ……………2分
（2）∵⊥，
∴.
设.
∵, DF=4，AF=2，
∴.
解得. ……………………………………3分
∴.
∵,
∴△∽△. ……………………………………4分
∴.
∴
∵E为BC中点，
∴……………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23. 解：（1）
……………………2分
（注：直接等分不给分，在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.）
(2)① ②
……………………4分 ……………………7分
24．解：（1）解法一：∵抛物线与y轴交于点C，
∴. ……………………1分
∵抛物线与x轴交于A、B两点，OB=OC，
∴(3,0)或(-3,0).
∵点A在点B的左侧，，
∴抛物线经过点(3,0). ……………………2分
∴.
∴.
∴抛物线的解析式为. ……………………3分
解法二：令,
∴.
∴.
∴.
，点A在点B的左侧，
∴. ……………………1分
令，可得.
∴.
∴. ……………………2分
,
∴.
∴.
∴. ……………………3分
（2）①由抛物线可知对称轴为. ……………4分
∵点P与点Q在这条抛物线上，且，，
∴. ……………………5分
∴.
∴原式=. ……………………6分
②或. ……………………8分
（注：答对一部分给1分.）
25．解：（1）①1；……………………1分
②；……………………2分
（2）解：连接AE.
∵，
∴
∴
∴
∴点为的中点. ……………………3分
∴
∴,
∵
∴.
∴
∴∽.
∴ ……………………4分
∴.
∴.
∴. ……………………5分
（3） 过作的垂线交直线于点，连接、.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵△为等腰直角三角形，
∴
∴.
∴△≌△. ……………………6分
∴.
∵，
∴.
∴∥.
∴△∽△.
∴ ……………………7分
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)