石景山区2015—2016学年度第一学期初三期末试卷
数学
学校姓名准考证号
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．若⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为2，则直线l与⊙的位置关系是
2．两个相似三角形的相似比为1:2，若较小三角形的面积为1，则较大三角形的面积为
3．德育处王主任将10份奖品分别放在10个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有5份是学习文具，3份是科普读物，2份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是
A． B． C． D．
4．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC （结果精确到0.1m） 5．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是 6．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中正确的是 7．如图，为⊙的直径，，为⊙上的两点，若，则的度数为 8．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则的余弦值为 9．二次函数的部分图象如图所示，对 称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的 交点为，则方程的解为 10．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB-BA、CD-DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t(s)，△AEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 11．若，则锐角为____________度． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在y轴上，AB＝AO，反比例函数的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为_________． 13．如果某人沿坡度的斜坡前进m，那么他所在的位置比原来的位置升高了___________m． 14．如图，折扇的骨柄的长为，扇面的宽的长为，折扇张开的角度为，则扇面的面积为______________(用代数式表示)． 15．根据函数学习中积累的知识与经验，请你构造一个函数，使其图象与轴有交点，但与轴无交点，这个函数表达式可以为_______________________． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABO=60°，若点D（1,0）且BD=2OD．把△ABO绕着点D逆时针旋转后，点B恰好落在初始Rt△ABO的边上，此时的点B记为，则点的坐标为_______． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：． 18．已知：二次函数的图象过点，． （1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式； （2）画出此函数图象的示意图． 19．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为⊙的直径，弦于，寸，寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出的长． 20．中秋节来临，小红家自己制作月饼.小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）.做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个.请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率. 21．如图，Rt△中，，，为上一点，且，若，求的长． 22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）@co过点的直线与反比例函数图象的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标． 四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 23．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具： ①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选 用的测量工具； （2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路． 24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数（件）与销售单价（元）满足一次函数关系：”．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 25．如图，是⊙的直径，为⊙上一点，过点作⊙的切线，交延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若，tan∠=，求的长． 26．阅读下面材料： 小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°= _________． 小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题.于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：tan22.5°= ________________． 参考小天思考问题的方法，解决问题： 如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值． 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点，在抛物线上，若，请直接写出的取值范围； （3）设点为抛物线上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的上方，求的取值范围． 28．在正方形ABCD中，DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G作PG⊥DE于点P，连接CP，过点D作DQ⊥PC于点Q，交射线PG于点H． （1）如图1，若点G与点A重合. ①依题意补全图1； ②判断DH与PC的数量关系并加以证明； （2）如图2，若点H恰好在线段AB上，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）． 图1 图2 29．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离的定义如下：若点P与圆心O重合，则为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则为线段AP的长度． 图1为点P在⊙O外的情形示意图． （1）若点，，，则___；___；___； （2）若直线上存在点M，使得，求的取值范围； （3）已知点，在轴上，为线段上任意一点．若线段上存在一点T，满足T在⊙O内且，直接写出满足条件的线段长度的最大值．