北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷
九年级数学 2016.1
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数的最小值是
A． B．7 C． D．5
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为
A． B．
C． D．
3．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C
相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为
A．12 B．
C． D．
4．将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是
A． B．
C． D．
5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于
A．30° B．60° C．90° D．120°
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(，2)，
AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为
原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1
的坐标为
A．(，4) B．(，1)
C．(2，) D．(2，4)
7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离
灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与
灯塔P的距离BP的长可以表示为
A．40海里 B．40tan37°海里
C．40cos37°海里 D．40sin37°海里
8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，
∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点，
连接DB，DC，则∠DBC的度数为
A．30° B．45°
C．50° D．70°
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为
A． B．
C． D．
10．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为
A．8 B． C． D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若，则的值为 ．
12．点A(，)，B(，)在抛物线上，则 ．（填“>”，“<”或“=”）
13．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为 ．
14．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．
点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件
的AD的长度值：AD= ．
15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 ．
16．阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
小敏的作法如下：
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．计算：．
18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°．
求tanC的值．
19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；
（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．
20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．
21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？
22．已知抛物线：与x轴只有一个公共点．
（1）求的值；
（2）怎样平移抛物线就可以得到抛物线：？请写出具体的平移方法；
（3）若点A（1，）和点B（，）都在抛物线：上，且，直接写出的取值范围．
23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA．
（1）求OA的长；
（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，
直接写出∠BAF的度数．
24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．
（1）求证：∠PCE=∠PEC；
（2）若AB=10，ED=，sinA=，求PC的长．
26．阅读下面材料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与
双曲线交于A（1，3）和B（，）两点．
观察图象可知：①当或时，；
②当或时，，即通过观察函
数的图象，可以得到不等式的解集．
有这样一个问题：求不等式的解集．
某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究．
下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：
（1）将不等式按条件进行转化
当时，原不等式不成立；
当时，原不等式可以转化为；
当时，原不等式可以转化为；
（2）构造函数，画出图象
设，，在同一坐标系
中分别画出这两个函数的图象．
双曲线如图2所示，请在此坐标系中
画出抛物线；
（不用列表）
（3）确定两个函数图象公共点的横坐标
观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为 ；
（4）借助图象，写出解集
结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为 ．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（，），且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．
（1）如图1，当BD=2时，AN=_______，NM与AB的位置关系是____________；
（2）当4 ①依题意补全图2； ②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； （3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果． 图1 图2 备用图 29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线． 光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2． 图1 图2 图3 （1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线； （2）当⊙O的半径为1时，如图3， ①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为__________°； ②自点A(，)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为______________； （3）如图4，点M的坐标为(，)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围． 图4