北京市西城区2015— 2016学年度第一学期期末试卷
九年级数学参考答案及评分标准 2016.1
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11． ． 12．>． 13．90． 14．满足 即可，如：AD=10．
15． ．
16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
三、解答题（本题共72分，第17﹣26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解：原式= ………………………………………………………3分
=
=． …………………………………………………………………………5分
18．解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°，
∴BD=AB=6， …………………………………1分
AD=AB·cos∠BAD = 12·cos30°=． ……………………………………2分
∵BC=15，
∴CD= BC－BD=15－6=9． ………………………………………………………3分
∴在Rt△ADC中，tanC= ……………………………………………………4分
==． ………………………………………5分
19．解：（1）令，则．
解得 ，． ………………………………………………………1分
∵点A在点B的左侧，
∴A（，0），B（3，0）． …………………………………………………2分
对称轴为直线． …………………………………………………………3分
（2）∵当时，，
∴顶点C的坐标为（1，4）． …………………………………………………4分
∵点C，D关于x轴对称，
∴点D的坐标为（1，）．
∵AB=，
∴． ………………………………5分
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC． ……………………1分
∵∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DCB． ……………………3分
（2）解：∵△ABD∽△DCB，
∴． …………………………………………………………4分
∵AB=12，AD=8，CD=15，
∴．
∴DB=10． ………………………………………………………………5分
21．解：根据题意，得 ． …………………………………………2分
整理得 ．
解得 ，． …………………………………………………………3分
∵不符合题意，舍去，
∴． ……………………………………………………………………………4分
答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分
22．解：（1）∵抛物线：与x轴有且只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根．
∴． ……………………………………………………1分
解得 ． …………………………………………………………………2分
（2）∵抛物线：，顶点坐标为（1，0），
抛物线：的顶点坐标为（-1，-8）， ………………3分
∴将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线． …………………………………………………………………4分
（3）． ……………………………………………………………………5分
23．解：（1）∵OC⊥AB于点D，
∴AD=DB， ……………………………………1分
∠ADO=90°．
∵AB=，
∴AD=．
∵∠AOD=2∠E，∠E=30°，
∴∠AOD=60°． ………………………………………………………………2分
∵在Rt△AOD中，sin∠AOD=，
∴OA==4． ………………………………………………3分
（2）∠BAF=75°或15°． ……………………………………………………………5分
24．解：（1）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，
∴∠BAD=90°—∠B=45°．
∴∠BAD=∠B．
∴AD=DB． ……………………………1分
设AD=x，
∵在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∠ACD=58°，
∴DC=． ………………………………………………………………3分
∵DB= DC+ CB=AD，CB=90，
∴+90=x． ……………………………………………………………4分
将tan58°≈1.60代入方程，
解得x≈240． …………………………………………………………………5分
答：最高塔的高度AD约为240米．
25．（1）证明：连接OC，如图1．
∵ PC是⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥PC． ……………………………1分
∴∠PCO=∠1+∠2=90°．
∵PD⊥AB于点D，
∴∠EDA=90°．
∴∠A+∠3=90°．
∵OA=OC，
∴∠A=∠1．
∴∠2=∠3．
∵∠3=∠4，
∴∠2=∠4．
即∠PCE=∠PEC． …………………………………………………………2分
（2）解：作PF⊥EC于点F，如图2．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵在Rt△ABC中，AB=10，，
∴BC=AB·sinA=6．
∴AC==8． ………………………………………………………3分
∵在Rt△AED中，ED=，
∴AE==．
∴EC=AC－AE=．
∵∠2=∠4，
∴PE=PC．
∵PF⊥EC于点F，
∴FC=EC=， ……………………………………………………………4分
∠PFC=90°．
∴∠2+∠5=90°．
∵∠A+∠2=∠1+∠2=90°．
∴∠A=∠5．
∴sin∠5 =．
∴在Rt△PFC中，PC==． ……………………………………5分
26．解：（2）抛物线如图所示； ……………………1分
（3），或； ……………………3分
（4）或． ……………………5分
27．解：（1）∵二次函数，
当和时所对应的函数值相等，
∴二次函数的图象的对称
轴是直线．
∵二次函数的图象经过点A（，），
∴ ……………………………………………………………1分
解得
∴二次函数的表达式为． ………………………………2分
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，如图1．
∵一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，
∴．
解得 ，． ………………3分
∴交点坐标为（2，1），（5，）．
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为（2，1）．
∴点D的坐标为（2，）．
在Rt△ABD中，AD=1，BD=1，
∴AB==． …………………………………………………4分
（3）结论：四边形ABCN的形状是矩形． ………………………………………5分
证明：设一次函数的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2．
∵点B绕点M旋转180°得到点N，
∴M是线段BN的中点．
∴MB= MN．
∵M是线段AC的中点，
∴MA= MC．
∴四边形ABCN是平行四边形． ……6分
∵一次函数的图象与x轴交于点E，
当时，．
∴点E的坐标为（3，0）．
∴DE=1= DB．
∴在Rt△BDE中，∠DBE=∠DEB=45°．
同理∠DAB=∠DBA=45°．
∴∠ABE=∠DBA+∠DBE=90°．
∴四边形ABCN是矩形． ……………………………………………7分
28．解：（1），垂直； …………………………2分
（2）①补全图形如图所示； ………………3分
②结论：（1）中NM与AB的位置关系不变．
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠B=45°．
∴∠CAN +∠NAM=45°．
∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°．
∵N为ED的中点，
∴∠DAN=∠DAE=45°，
AN⊥DE．
∴∠CAN +∠DAC =45°，
∠AND=90°．
∴∠NAM =∠DAC． ………………………………………………4分
在Rt△AND中，=cos∠DAN= cos45°=．
在Rt△ACB中，=cos∠CAB= cos45°=．
∵M为AB的中点，
∴AB=2AM．
∴．
∴．
∴．
∴△ANM∽△ADC．
∴∠AMN=∠ACD．
∵点D在线段BC的延长线上，
∴∠ACD=180°－∠ACB =90°．
∴∠AMN=90°．
∴NM⊥AB． ………………………………………………………5分
（3）当BD的长为 6 时，ME的长的最小值为 2 ． ……………………………7分
29．解：（1）所得图形，如图1所示． ……………………1分
（2）①45°； ………………………………………3分
②(，)或(，)； ……………5分
（3）①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q，
点Q在第一象限，
连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H．
∵直线OQ与⊙M相切于点Q，
∴MQ⊥OQ．
∴∠MQO=90°．
∵MO=2，MQ=1，
∴在Rt△MQO中，sin∠MOQ=．
∴∠MOQ=30°．
∴OQ=OM﹒cos∠MOQ=．
∵QH⊥x轴，
∴∠QHO=90°．
∵∠QOH=90°∠MOQ=60°，
∴在Rt△QOH中，QH= OQ﹒sin∠QOH=． …………………………6分
②如图3，当反射光线PN与坐标轴平行时，
连接MP并延长交x轴于点D，过点P作PE⊥OD于点E，过点O作OF⊥PD于点F．
∵直线l是⊙M的切线，
∴MD⊥l．
∴∠1+∠OPD=∠2+∠NPD =90°．
∵∠1=∠2，
∴∠OPD=∠NPD．
∵PN∥x轴，
∴∠NPD=∠PDO．
∴∠OPD=∠PDO．
∴OP=OD．
∵OF⊥PD，
∴∠MFO =90°，PF=FD．
∵，
设PF=FD=，而MO=2，MP=1，
∴．
解得．
∵，
∴．
∵PE⊥OD，
∴∠PED =90°=∠MOD ．
∴PE∥MO．
∴∠EPD =∠OMF ．
∴cos∠EPD = cos∠OMF ．
∴．
∴
=
=． …………………………………………………………7分．
可知，当反射点P从②中的位置开始，在⊙M上沿逆时针方向运动，到与①中的点Q重合之前，都满足反射光线与坐标轴无公共点，所以反射点P的纵坐标的取值范围是． ………………………………8分